最近在看深度学习的东西,一开始看的吴恩达的UFLDL教程,有中文版就直接看了,后来发现有些地方总是不是很明确,又去看英文版,然后又找了些资料看,才发现,中文版的译者在翻译的时候会对省略的公式推导过程进行补充,但是补充的又是错的,难怪觉得有问题。反向传播法其实是神经网络的基础了,但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题,或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了,其实不难,就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式,可以直接把数值带进去,实际的计算一下,体会一下这个过程之后再来推导公式,这样就会觉得很容易了。
说到神经网络,大家看到这个图应该不陌生:
这是典型的三层神经网络的基本构成,Layer L1是输入层,Layer L2是隐含层,Layer L3是隐含层,我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},现在要他们在隐含层做某种变换,让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样,那么就是最常见的自编码模型(Auto-Encoder)。可能有人会问,为什么要输入输出都一样呢?有什么用啊?其实应用挺广的,在图像识别,文本分类等等都会用到,我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明,包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样,那么就是很常见的人工神经网络了,相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据,也就是我们今天要讲的话题。
本文直接举一个例子,带入数值演示反向传播法的过程,公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写,其实也很简单,感兴趣的同学可以自己推导下试试:)(注:本文假设你已经懂得基本的神经网络构成,如果完全不懂,可以参考Poll写的笔记:)
假设,你有这样一个网络层:
第一层是输入层,包含两个神经元i1,i2,和截距项b1;第二层是隐含层,包含两个神经元h1,h2和截距项b2,第三层是输出o1,o2,每条线上标的wi是层与层之间连接的权重,激活函数我们默认为sigmoid函数。
现在对他们赋上初值,如下图:
其中,输入数据 i1=0.05,i2=0.10;
输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
目标:给出输入数据i1,i2(0.05和0.10),使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。
Step 1 前向传播
1.输入层---->隐含层:
计算神经元h1的输入加权和:
神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数):
同理,可计算出神经元h2的输出o2:
2.隐含层---->输出层:
计算输出层神经元o1和o2的值:
这样前向传播的过程就结束了,我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465],与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远,现在我们对误差进行反向传播,更新权值,重新计算输出。
Step 2 反向传播
1.计算总误差
总误差:(square error)
但是有两个输出,所以分别计算o1和o2的误差,总误差为两者之和:
2.隐含层---->输出层的权值更新:
以权重参数w5为例,如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响,可以用整体误差对w5求偏导求出:(链式法则)
下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的:
现在我们来分别计算每个式子的值:
计算:
计算:
(这一步实际上就是对sigmoid函数求导,比较简单,可以自己推导一下)
计算:
最后三者相乘:
这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。
回过头来再看看上面的公式,我们发现:
为了表达方便,用来表示输出层的误差:
因此,整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成:
如果输出层误差计为负的话,也可以写成:
最后我们来更新w5的值:
(其中,是学习速率,这里我们取0.5)
同理,可更新w6,w7,w8:
3.隐含层---->隐含层的权值更新:
方法其实与上面说的差不多,但是有个地方需要变一下,在上文计算总误差对w5的偏导时,是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时,是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差,所以这个地方两个都要计算。
计算:
先计算:
同理,计算出:
两者相加得到总值:
再计算:
再计算:
最后,三者相乘:
为了简化公式,用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差:
最后,更新w1的权值:
同理,额可更新w2,w3,w4的权值:
这样误差反向传播法就完成了,最后我们再把更新的权值重新计算,不停地迭代,在这个例子中第一次迭代之后,总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后,总误差为0.000035085,输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。
代码(Python):
import numpy as np
# "pd" 偏导
def sigmoid(x): return 1 / (1 + np.exp(-x))def sigmoidDerivationx(y): return y * (1 - y)if __name__ == "__main__":
#初始化 bias = [0.53, 0.66] weight = [0.16, 0.22, 0.25, 0.31, 0.44, 0.45, 0.51, 0.55] output_layer_weights = [0.43, 0.45, 0.52, 0.55] i1 = 0.03 i2 = 0.12 target1 = 0.01 target2 = 0.98 alpha = 0.5 #学习速率 numIter = 10000 #迭代次数 for i in range(numIter): #正向传播 neth1 = i1*weight[1-1] + i2*weight[2-1] + bias[0] neth2 = i1*weight[3-1] + i2*weight[4-1] + bias[0] outh1 = sigmoid(neth1) outh2 = sigmoid(neth2) neto1 = outh1*weight[5-1] + outh2*weight[6-1] + bias[1] neto2 = outh2*weight[7-1] + outh2*weight[8-1] + bias[1] outo1 = sigmoid(neto1) outo2 = sigmoid(neto2) print(str(i) + ", target1 : " + str(target1-outo1) + ", target2 : " + str(target2-outo2)) if i == numIter-1: print("lastst result : " + str(outo1) + " " + str(outo2)) #反向传播 #计算w5-w8(输出层权重)的误差 pdEOuto1 = - (target1 - outo1) pdOuto1Neto1 = sigmoidDerivationx(outo1) pdNeto1W5 = outh1 pdEW5 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1W5 pdNeto1W6 = outh2 pdEW6 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1W6 pdEOuto2 = - (target2 - outo2) pdOuto2Neto2 = sigmoidDerivationx(outo2) pdNeto1W7 = outh1 pdEW7 = pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto1W7 pdNeto1W8 = outh2 pdEW8 = pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto1W8 # 计算w1-w4(输出层权重)的误差 pdEOuto1 = - (target1 - outo1) #之前算过 pdEOuto2 = - (target2 - outo2) #之前算过 pdOuto1Neto1 = sigmoidDerivationx(outo1) #之前算过 pdOuto2Neto2 = sigmoidDerivationx(outo2) #之前算过 pdNeto1Outh1 = weight[5-1] pdNeto1Outh2 = weight[7-1] pdENeth1 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1Outh1 + pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto1Outh2 pdOuth1Neth1 = sigmoidDerivationx(outh1) pdNeth1W1 = i1 pdNeth1W2 = i2 pdEW1 = pdENeth1 * pdOuth1Neth1 * pdNeth1W1 pdEW2 = pdENeth1 * pdOuth1Neth1 * pdNeth1W2 pdNeto1Outh2 = weight[6-1] pdNeto2Outh2 = weight[8-1] pdOuth2Neth2 = sigmoidDerivationx(outh2) pdNeth1W3 = i1 pdNeth1W4 = i2 pdENeth2 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1Outh2 + pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto2Outh2 pdEW3 = pdENeth2 * pdOuth2Neth2 * pdNeth1W3 pdEW4 = pdENeth2 * pdOuth2Neth2 * pdNeth1W4 #权重更新 weight[1-1] = weight[1-1] - alpha * pdEW1 weight[2-1] = weight[2-1] - alpha * pdEW2 weight[3-1] = weight[3-1] - alpha * pdEW3 weight[4-1] = weight[4-1] - alpha * pdEW4 weight[5-1] = weight[5-1] - alpha * pdEW5 weight[6-1] = weight[6-1] - alpha * pdEW6 weight[7-1] = weight[7-1] - alpha * pdEW7 weight[8-1] = weight[8-1] - alpha * pdEW8 # print(weight[1-1]) # print(weight[2-1]) # print(weight[3-1]) # print(weight[4-1]) # print(weight[5-1]) # print(weight[6-1]) # print(weight[7-1]) # print(weight[8-1])